Terre de l'homme

Une immersion dans le temps.

Il est suffisamment établi que la preuve par neuf nous vient des Arabes, et au moins très probable qu'elle a été empruntée par ceux-ci aux Hindous, comme le témoignent Avicenne et Maxime Planude. En arithmétique la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou effectué de manière manuscrite. Le principe général est de refaire le calcul beaucoup plus simplement, en remplaçant chaque nombre supérieur ou égal à 10 par la somme de ses chiffres, de façon répétée.

De vieux souvenirs

De nos jours la preuve par neuf devient une vue de l'esprit dans un monde qui peut s'écarter de l'arithmétique. Ne dit-on pas qu'une personne qui adhère ou repousse un projet, qu'elle a établi la preuve par 9 de son positionnement. Là aussi la preuve par 9 peut cacher des fragilités. On peut adhérer du bout des lèvres puis se rétracter.

Aujourd'hui ce billet va aborder une méthode que les gens de moins de 50 ans, avec quelques réserves pour les matheux , ne peuvent pas connaître. En dehors de celles et ceux qui sont des séniors sexagénaires, septuagénaires, octogénaires ou nonagénaires et, pourquoi pas, centenaires, si vous posez la question "savez-vous poser la preuve par 9" il n'est pas du tout certain que vous obteniez un large acquiescement.

Qui se souvient de la preuve par 9....a priori les calculettes l'ont promue dans un tiroir de l'obsolescence.

Le principe de la preuve par 9 fait que chaque fois que dans la recherche on rencontre le chiffre 9 on le considère comme un 0. Toujours on compile les chiffres pour arriver à un résultat au plus égal à 8. La preuve par 9 n'est pas une méthode d'élaboration d'une opération mais seulement un procédé de recherche de justesse.

La preuve par 9 pour la multiplication est la plus facile à mémoriser.

Je veux multiplier 67x17 = 1139

67 est le multiplicande, 17 le multiplicateur et 1139 le produit.

Pour m'assurer de la probabilité du résultat je trace une croix dite de Saint André.

A gauche je place le résultat de l'addition des chiffres 6 + 7 =13, j'additionne 1+3 et j'obtiens 4.

A droite je place le résultat de l'addition des chiffres 1+7= 8

Je multiplie le chiffre de gauche et droite 4x8 = 32. J'additionne 3+2 et j'obtiens 5 que je place en haut de la croix.

Je prends le produit de la multiplication soit 1139 et j'additionne 1+1+3 (je ne prends pas en compte le 9 qui est assimilé à 0) et j'obtiens 5 que je place en bas de la croix.

67x17 = 1139.A priori le résultat est exact.

Si par une erreur, plutôt "singulière", en multipliant 67x17 j'obtenias 1319 ce résultat erroné échapperait à la recherche de la preuve par 9. C'est le phénomène de l'inversion.

La preuve par 9 est donc une très forte probabilité qui peut dans des cas extrêmes être fausse.

Beaucoup plus subtil découvrons la preuve par 9 pour une division avec un reste

Exemples pratiques

Revenons à cette règle qui, somme toute,a vécu de belles heures de pratique. Etant totalement nul en mathématiques mais conservant quelque infime reste d'arithmétique, je vais vous proposer de vérifier la division de 3/2.

Je place la division et j'obtiens le résultat de 1, quotient, avec un reste de 1. Prudent je vais soumettre le contrôle de cette opération à l'audit de la preuve par 9.

Je vais donc placer dans la case de gauche de la croix de Saint André le chiffre 3, chiffre du dividende de la division , dans l'espace du haut je vais mettre le chiffre 2, chiffre du diviseur de la division. Dans la partie droite je vais inscrire le résultat de 2x1 = 2, c'est à dire le résultat de la multiplication du diviseur par le quotient, celui-ci est à inscrire dans la partie basse de la croix, auquel je vais ajouter le reste 1.

J'obtiens 3, chiffre qui est égal au dividende.

Ouf ma division est présumée juste, je peux donc prétendre à accéder au cours moyen seconde année (nous sommes en 1955) et, éventuellement, songer au passage dans l'enseignement secondaire. Comme le dit l'acronyme de notre temps trés répandu sur internet, terminologie empruntée à l'anglais "laughing out loud" soit "rire à haute voix"...lol !

Poursuivons et imaginons la division de 11/3. Elle donne un résultat de 3 avec un reste de 2.

Je place sur la droite le dividende 11 (1+1 = 2) j'inscris 2.

Je place en haut le diviseur 3.

Je place en bas le quotient, résultat, c'est à dire 3.

Je multiplie le diviseur par le quotient : 3x3 = 9 soit 0 auquel j'ajoute le reste 2 que je place à droite.

Il ya égalité entre la gauche et la droite donc il y a, sauf erreur compensée, la quasi-certitude de l'exactitude du résultat.

Des élèves de l'école de Sagelat année 1955/56. Tous ont été amenés à manipuler la preuve par 9.

Il parait permis de penser que tous les écoliers de l'hexadécagone, image ci-dessus, ont, à l'école de Sagelat, maîtrisé la preuve par 9.

In fine. Amusez-vous à vérifier si 758/12 donne bien un quotient de 63 avec un reste de 2.

Pierre Fabre